徐州市2012学年高三第二次质量检测数学试卷答案解析

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徐州市2011-2012学年度高三第二次质量检测数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上1、已知集合A=｛0，1，3｝，B=｛a+1，a2+2｝，若A∩B=｛1｝，则实数a的值为▲【答案】0【解析】由a+1=1或221a可得a=0.2、已知复数z满足(1)13(izii是虚数单位），则||z=▲【答案】2【解析】由复数的相等易得.3、某校高一、高二、高三学生共有3200名，其中高三800名，如果通过分层抽样的方法从全体学生中抽取一个160人的样本，那么应当从高三的学生抽取的人数是▲【答案】40【解析】11604044、箱中有号码分别为1，2，3，4，5的五张卡片，从中一次随机抽取两张，则两张号码之和为3的倍数的概率为▲【答案】25【解析】抽取5张卡片共有10中取法，其中号码和为3的倍数的有12，15,24,45，所以概率为42105.5、右图是求函数值的流程图，当输出y的值为1时，则输入的x的值为▲【答案】1【解析】若x<0,得x=2，不成立。若x>0，得x=1.所以x=1.6、已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、M分别为线段BD1，B1C1上的点，若112BPPD则三棱锥M－PBC的体积为▲【答案】32【解析】设M点到面PBC的距离为d，则d=3221111333MPBCBPCBDCVSdSd11132333233222７、已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的右顶点，右焦点分别为A，F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为▲NY结束输出yy3-2x2x-3yx<0输入x开始【答案】21【解析】2,2a=-aABFcc是的中点，22101eeee218、如图，已知A、B是函数3sin(2)yx的图象与x轴两相邻交点，C是图象上A，B之间的最低点，则ABAC▲【答案】28【解析】设AB中点为D,则ABACABADBCABAD2248９、设直线ｙ＝ａ分别与曲线2yx和xye交于点M、N，则当线段MN取得最小值时ａ的值为▲【答案】22【解析】222,lnlnlnMNxaxaMNaaaa由求导的方式可得MN取得最小值时a=22１０、定义在区间[,]ab的长度为ｂ－ａ，用[]x表示不超过ｘ的最大整数．设()[]([])fxxxx．()1,gxx则02012x时，不等式()()fxgx的解集的区间长度为▲【答案】2011【解析】当0<=x<1时，[x]=0，因此f(x)>g(x)，当1<=x<=2012时，若n<=xc，即b-d+b>b+d，b>2d。将b=2d代人3(2d)²+2d²=8412d²+2d²=8414d²=84d²=6d=6b>26所以实数b的取值范围是27≥b>26二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤15.（本小题满分14分）已知函数()sin()sin()3sincos()44fxxxxxxR（１）求()6f的值；（２）在ABC中，若()12f，求sinsinBC的最大值【解析】⑴ππ()sin()sin()3sincos44fxxxxx13cos2sin222xx…………2分πsin(2)6x，……………………………………………………………4分所以π()6f=1．………………………………………………………………………………6分⑵由()12Af，有π()sin()126AfA，因为0πA，所以ππ62A，即π3A.8分2πsinsinsinsin()3BCBB=33πsincos3sin()223BBB.……12分因为2π03B，所以πππ33B，π0sin()13B≤，所以sinsinBC的最大值为3．……………14分16.（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD和直角梯形BDEF所在平面互相垂直，BF⊥BD，12EFBFBD．（１）求证：DE∥平面ACF（２）求证：BE⊥平面ACF　　　　　　　　【解析】16．⑴设ACBDO，连结FO．因为ABCD是正方形，所以O是BD的中点，因为2BDEF，所以DOEF∥，所以四边形DOFE是平行四边形，所以DEOF．……………………………………5分因为DE平面ACF，OF平面AFC，所以DE平面ACF．…………………7分⑵因为ABCD是正方形，所以BDAC，因为平面ABCD平面BDEF，平面ABCD平面BDEFBD，所以AC平面BDEF，因为BE平面BDEF，所以BEAC．……………………………………………10分因为12BFBD，所以BFBO，所以四边形BOEF是正方形，所以BEOF．12分FEDCBA因为OFACO，,OFAC平面ACF，所以BE平面ACF．………14分17.（本小题满分14分）如图，在C城周边已有两条公路12,ll在点O处交汇，现规划在公路12,ll上分别选择A，B两处为交汇点（异于点O）直接修建一条公路通过C城，已知OC＝(26)km，075AOB，045AOC，设,OAxkmOBykm（１）求ｙ关于ｘ的函数关系式并指出它的定义域；（２）试确定点A、B的位置，使ABC的面积最小；【解析】⑴因为AOC△的面积与BOC△的面积之和等于AOB△的面积，所以111(26)sin45(26)sin30sin75222xyxy，……………………………4分即2162(26)(26)224xyxy，所以22(2)2xyxx．…………6分⑵AOB△的面积162sin7528Sxyxy=23122xx………………………8分=31424)22xx（3184(31)2≥．……………12分当且仅当4x时取等号，此时42y．故4kmOA，42kmOB时，△OAB面积的最小值为24(31)km．…………14分18.（本小题满分1６分）如图，已知椭圆C：2214xy，A、B是四条直线2,1xy所围成的两个顶点（１）设P是椭圆C上任意一点，若OPmOAnOB，求证：动点Q（ｍ，ｎ）在定圆上运动，并求出定圆的方程；l2l1OCBAyxNMBAO（２）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，说明理由。【解析】⑴易求(21)A，,(21)B，.………………………………………………………2分设00()Pxy，,则220014xy.由OPmOAnOB,得002()xmnymn,所以224()()14mnmn,即2212mn.故点()Qmn，在定圆2212xy上.…8分⑵设11()Mxy，，22()Nxy，,则121214yyxx.平方得22222212121216(4)(4)xxyyxx,即22124xx.………………………10分因为直线MN的方程为21211221()()0xxxyyyxyxy,所以O到直线MN的距离为1221222121||()()xyxydxxyy,………………………12分所以OMN△的面积2222122112211212111||2222SMNdxyxyxyxyxxyy=22222221121211(1)(1)2442xxxxxx=2212112xx.故OMN△的面积为定值1.………………………………………16分１９.（本小题满分1６分）若函数()fx在(0,)上恒有,()()xfxfx成立（其中,()fx为()fx的导函数），则称这类函数为A类函数．（１）若函数2()1gxx，试判断()gx是否为A类函数;（２）若函数1()3lnahxaxxx是A类函数，求函数()hx的单调区间;（３）若函数()fx是A类函数，当120,0xx时，证明1212()()()()fxfxfxfx.【解析】⑴因为()2gxx，所以222()()2(1)10xgxgxxxx在(0,)上恒成立，即()()xgxgx在(0,)上恒成立，所以2()1gxx是A型函数．………………2分⑵211()(0)ahxaxxx，由()()xhxhx，得1113lnaaaxaxxxx，因为0x，所以可化为2(1)2lnaxxx，令()2lnpxxxx，()3lnpxx，令()0px，得3ex，当3(0,e)x时，()0px，()px是减函数；当3(e,)x时，()0px，()px是增函数，所以33min()(e)epxp，所以32(1)ea，311e2a．………………4分①当0a时，由21()0xhxx，得1x，所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)；②当0a时，由21()(1)()0aaxxahxx，得01x，所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)；③当102a时，得1x，或1axa，所以增区间为(0,1)，1(,)aa，减区间为1(,1)aa；④当12a时，()0hx≥，所以，函数增区间为(0,)；⑤3111e22a时，由21()(1)()0aaxxahxx，得1axa，或1x，所以增区间为(1,)，1(0,)aa，减区间为1(,1)aa．…………………………10分⑶证明：函数()fx是(0,)上的每一点处都有导数，且()()xfxfx在(0,)上恒成立，设()()fxFxx，2()()()0xfxfxFxx在(0,)时恒成立，所以函数()()fxFxx在(0,)上是增函数，………………………………………12分因为120,0xx，所以1211220,0xxxxxx，所以121122()(),()()FxxFxFxxFx，即121122121122()()()(),fxxfxfxxfxxxxxxx，14分所以112212121212()()(),()xfxxxfxxfxfxxxxx，两式相加，得1212()()()fxfxfxx，16分２０.（本小题满分1６分）已知各项均为正整数的数列{}na满足1nnaa，且存在正整数(1)kk,使得*1212,()kknknaaaaaaakanN（１）当1233,6kaaa时，求数列{}na的前36项的和36S；（２）求数列{}na的通项na；（３）若数列{}nb满足81121()2nannbb，且1192,b其前n项积为nT，试问n为何值时，nT取得最大值？【解析】．⑴当3k，1236aaa则1236aaa．设32313nnnncaaa，由33nnaa，得19nncc，所以数列{}nc是公差为9的等差数列，故361212121112696662Sccc．………………………………4分⑵若2k时，1212aaaa，又12aa，所以1222aaa，所以11a，此时221aa，矛盾．………………………………6分若3k时，123123aaaaaa，所以12333aaaa，123aa，所以1231,2,3aaa，满足题意．……………………………………………………8分若4k≥时，1212kkaaaaaa，所以12kkaaaka，即121kaaak，又因为12112(1)22kaaakkk≥，所以4k≥不满足题意．……10分所以，11a，22a，33a，且33nnaa，所以3213(1)32naann，3123(1)31naann，333(1)3naann，故nan．………………………………………………………………………………12分EODCBA⑶又81121()2nannbb所以1812121()2nannbb所以212nnbb，所以221,nnbb都是以12为公比的等比数列,所以16212132(),1,2114(),2,2nnnnnbnn≥为奇数,≥为偶数.…………………………………………14分令11nnbb，即8121()12n，811()221n，所以13n≥n为奇数时有,12341112131415161,11,1,1bbbbbbbbbb，，，从而24121214,TTTTT，n为偶数时，有23451213141516171,1,,1,1,1bbbbbbbbbb，从而13131315,TTTTT，注意到12130,0TT，且13131212123TbTTT，所以数列nb的前n项积nT最大时n的值为13．……………………………16分徐州市2011-2012学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交于直线OB于E，D，连接EC，CD，若1tan,2CEDO的半径为3，求OA的长.【解析】如图，连接OC，因为,OAOBCACB，所以OCAB．因为OC是圆的半径，所以AB是圆的切线．……………3分因为ED是直径，所以90ECD，所以90EEDC，又90,BCDOCDOCDODC，所以BCDE，又因为CBDEBC，所以BCD∽BEC，所以2BCBDBCBDBEBEBC，…………………5分21tanECCDCED，BCD∽BEC，21ECCDBCBD．…………………7分设BDx，则2BCx，因为2BCBDBE，所以2(2)(6)xxx，所以2BD．9分所以235OAOBBDOD．………………………………10分B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知二阶矩阵M有特征值＝３及对应的一个特征向量111e，　　　并且M对应的变换将点（－１，２）变换成（９，１５），　求矩阵M．【解析】设abcdM，则1133113abcd，故3,3abcd++．……………4分19215abcd，故29,215abcd++．………………………………………………7分联立以上两方程组解得1,4,3,6abcd，故M=1436．………………10分C．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系ｘｏｙ中，求过椭圆5cos(3sinxy参数）的左焦点与直线1(42xttyt为参数）垂直的直线的参数方程．【解析】椭圆的普通方程为221259xy，左焦点为(4,0)，…………………………………4分直线1,42xtyt（t为参数）的普通方程为260xy，……………………………8分所求直线方程为1(4)2yx，即240xy．…………………………………10分D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）对于任意实数(0)aa和ｂ，不等式|||2|||(|1||2|)ababaxx恒成立，试求实数ｘ的取值范围．【解析】．原式等价于212||ab||ab||x||x|a|≥，设tab，则原式变为|1||21||1||2|ttxx≥对任意t恒成立．………………………2分EPD1C1B1A1DCBA因为13,,21|1||21|2,1,23,1,tttttttt≥≤最小值为21t时取到，其最小值为23．…6分所以有232,3121122321x,xxx,x,x,x．≥≥≤解得39[,]44x．……………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。http://www.mathedu.cn22.（本小题满分10分）在棱长为２的正方体ABCD－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，E为棱AB的中点，点P在平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，D１P⊥平面PCE．试求：（１）线段D１P的长；（２）直线DE与平面PCE所成角的正弦值；【解析】⑴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(002)D，，，(210)E，，，(020)C，，．设(2)Pxy，，，则1(0)DPxy，，，(212)EPxy，，，(210)EC，，．…………………………2分因为1DP平面PCE，所以1DPEP，1DPEC，所以10DPEP，10DPEC，故(2)(1)020xxyyxy，．解得0,0xy．(舍去)或4585xy，．…4分即48(,2)55P，，所以148(,0)55DP，，所以116644525255DP．………………6分⑵由⑴知，1148(2,1,0),(,,0),55DEDPDP平面PEC，设DE与平面PEC所成角为，1DP与DE所成角为，则111645sincos580525DPDEDPDE所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为45．………………………………………10分23．（本小题满分10分）已知*(12)()nnanN（１）若2(,)naababZ，求证：ａ是奇数；（２）求证：对于任意*nN，都存在正整数ｋ，使得1nakk．【解析】⑴由二项式定理,得012233CC2C(2)C(2)C(2)nnnnnnnna，所以02244224CC(2)C(2)12C2Cnnnnna，因为2242C2Cnn为偶数，所以a是奇数．……………………………………………4分⑵由⑴设(12)2()nnaababZ，,则(12)2nab,…………………5分所以222(2)(2)(12)(12)(12)nnnababab， ……………………6分当n为偶数时,2221ab,存在2ka，使得22221naababkk,…8分当n为奇数时，2221ab,存在22kb，使得22221naababkk，9分综上，对于任意nN，都存在正整数k，使得1nakk．………………10分